Ecuaciones Diferenciales: diciembre 2015

Ecuaciones Diferenciales Lineales (3 constantes)

Es aquella ecuación que se representa mediante el decremento de la derivada igualando la ecuación a 0.

Algoritmo:
Para resolver una ecuación lineal homogenea se convierte a una ecuación polinomial encontrando las raices de dicha ecuacion cuando la solución tiene raíces reales, estas deben ser linealmente dependientes.

Ejemplo:

Dependencia Lineal

Dos o más funciones son dependientes cuando alguna de ellas puede representarse en función de otra.

La dependencia lineal de 2 o mas funciones se calcula mediante el wroskiano de las funciones que se encuentran mediante la determinante de las funciones

Algoritmo:1.- Se separa la operación
2.- Se deriva cada parte
3.-Debe quedar horizontal y verticalmente con el mismo numero de operaciones
4.- se multiplican de manera diagonal
5.-se realizan las operaciones

Ejemplo:

Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas

Una ecuación diferencial ordinaria lineal y homogénea es una ecuación diferencial linea l que puede ser expresada como un conjunto de sumandos cada uno de los cuales es lineal en la incógnita o una de sus derivadas. El caso más sencillo se da para una función escalar de una única variable, si una ecuación diferencial para dicha función es homogénea entonces admitirá una representación de la forma:

$a_n(x)\frac{d^ny(x)}{dx^n} + \dots +a_2(x)\frac{d^2y(x)}{dx^2} + a_1(x)\frac{dy(x)}{dx} + a_0(x)y(x) = 0$

Algoritmo:

Cuando las raíces son reales.

Se sustituyen los valores de las raíces de manera directa en el exponente de la función, matematicamente se expresa de la siguiente manera.

Y=C1e^m1x+C2e^m2x

Cuando las raíces son iguales (m1=m2)

En este caso se repite la raíz en cada potencia y se incrementa una variable independiente en cada término.

Y=C1e^m1x+c2xe^m2x

Cuando las raíces son imaginarias

En un valor imaginario la parte real se representa por la letra α y la parte imaginaria por ß.

Mi=α+iß m2=x-iß

Y=Cie(α+iß)x+C2e(x-iß)x.

Ejemplo:

Ecuaciones de Bernoulli

es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial lineal de primer orden, mediante la sustitución y1-α = v,1 que se caracteriza por adoptar la forma:

{dy}+P(x)y=Q(x)y^ª{dx}

Algoritmo:

Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por y^α se obtiene:

$\frac{y'}{y^\alpha}+\frac{P(x)}{y^{(\alpha-1)}}=Q(x)$

Definiendo:

$Z(x):=\frac{1}{y^{(\alpha-1)}}$

o,equivalentemente, Z = y^1-α

lleva inmediatamente a las igualdades:

$Z'(x)= -\frac{\alpha-1}{y^\alpha}y' \qquad \Rightarrow \frac{y'(x)}{y^\alpha}=-\frac{1}{\alpha-1}Z'(x)$

Gracias a esta última relación se puede reescribir como:

$\!Z'(x)+ (1-\alpha)\!P(x)\!Z(x)=(1-\alpha)\!Q(x)$

Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:

$Z(x) = {\frac { \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right){e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}} {dx}+C}{{e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}}}}$

Donde

C \in \mathbb{R}

es una constante arbitraria. Pero como Z = y^1-α se tiene que:

${y^{(\alpha-1)}}={\frac {{e^{\left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}}}{ \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right){e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}} {dx}+C}} \qquad \Rightarrow y(x)={\sqrt [\alpha-1]{\frac {{e^{-(\alpha-1)\int \!P \left( x \right) {dx}}}}{ \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right){e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}} {dx}+C}}}$

Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:

$y(x)={\frac {{e^{-\int \!P \left( x \right) {dx}}}}{\sqrt [\alpha-1]{ \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right) {e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}}{dx}+C}}}$

Con

C \in \mathbb{R}

. Donde el factor integrante se define en, por ejemplo, 0 < x < ∞

Caso particular: α = 0

En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:

$\!y(x) = e^{-\int \!P(x)dx}\left({\int{ \!Q(x)e^{\int \!P(x)dx}dx}+\!C}\right)$

Caso particular: α = 1

Tenemos una ecuación diferencial lineal (Ecuación de variables separables). En este caso la solución viene dada por:

$\ln\ \!y(x) = \int [Q(x)-P(x)]dx + C$

Ejemplo:

Para resolver la ecuación:

$\qquad xy'+y=x^4y^3$

Se hace el cambio de variable

z=y^{-2}\;

$y^2=\frac{1}{z} \Rightarrow 2yy'=-\frac{1}{z^2}z'$

Multiplicando la ecuación anterior por el factor:

\frac{2y}{x};

se llega a:

$\qquad 2yy'+\frac{2}{x}y^2=2x^3y^4$

Si se sustituye en la última expresión y operando:

$-\frac{z'}{z^2} +\frac{2}{x} \frac{1}{z}= \frac{2x^3}{z^2} \quad \Rightarrow \quad z'-\frac{2z}{x}=-2x^3$

Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli:

$e^{\int P(x)dx} = e^{\int -\frac{2}{x}dx} = e^{-2ln(x)} = \frac{1}{x^2}$

Y se resuelve ahora la ecuación:

$\left(\frac{z}{x^2}\right)' = -2x^3 \frac{1}{x^2} = -2x \qquad \frac{z}{x^2} = \int{-2x dx} = -2\int{x dx} = -2\frac{x^2}{2} + C_1= -x^2 + C_1$

Deshaciendo ahora el cambio de variable:

$\frac{z}{x^2} = -x^2 + C_1 \quad \Rightarrow \quad z=C_1x^2 -x^4$

Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue

z=y^{-2}\;

$\frac{1}{y(x)^2}=C_1x^2-x^4 \quad \Rightarrow \quad y(x) = \frac{\pm 1}{\sqrt{C_1x^2-x^4}}$

Ecuaciones diferenciales lineales (aplicación)

la forma de conectar los elementos de un circuito implica la existencia de mapeos lineales que se relacionan de forma muy natural a los espacios vectoriales asociados. Los espacios vectoriales (cadenas) representan las corrientes y los espacios vectoriales duales (cocadenas) representan voltajes. Así mismo la suma directa de un espacio vectorial con su dual tiene una estructura simple eléctrica natural, donde las condiciones de reciprocidad tienen mucha importancia.

Algoritmo

1.- para el modelado del circuito eléctrico, repasaremos las leyes de Kirchoff , del tipo LR

2.-Para la solución de la ecuación diferencial aplicaremos la regla de los 4 pasos de la solución de las ecuaciones diferenciales lineales

3.-Utilizaremos matemática para la graficacion de resultados

Ejemplo:
Se aplica una fuerza electromotriz de 30V a un circuito en serie LR con 0.1 henrys de inductancia y 50 ohms de resistencia. Determine la corriente i(t), si i(0)=0. Determine la corriente conforme t→0.

Ldi+iR=E(t) dt

0.1di+50i=30 dt

dy+P(x)y=g(x)⇒di+500i=300dx dt

e∫P(x)dx==e∫500dt

e500t

y=yc+yp⇒i(t)=itr(t)+ips(t)

yc=Ce∫P(x)d

⇒itr(t)=Ce−∫500dt
⇒itr(t)=Ce−500t

yp=1e∫P(x)dx∫⇒ips(t)=1 ∫e500t∗300d e∫P(x)dxf(t)dx e500t

ips(t)=300∫e500tdt e500t

ps(t)=3/5

0=C+3/5

(t)=–3/5e−500t+3/5

grafica

Ecuaciones Diferenciales

jueves, 3 de diciembre de 2015

Caso particular: α = 0

Caso particular: α = 1

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