Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones de Bernoulli

es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial lineal de primer orden, mediante la sustitución y1-α = v,1 que se caracteriza por adoptar la forma:

{dy}+P(x)y=Q(x)y^ª{dx}

Algoritmo:

Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por y^α se obtiene:

$\frac{y'}{y^\alpha}+\frac{P(x)}{y^{(\alpha-1)}}=Q(x)$

Definiendo:

$Z(x):=\frac{1}{y^{(\alpha-1)}}$

o,equivalentemente, Z = y^1-α

lleva inmediatamente a las igualdades:

$Z'(x)= -\frac{\alpha-1}{y^\alpha}y' \qquad \Rightarrow \frac{y'(x)}{y^\alpha}=-\frac{1}{\alpha-1}Z'(x)$

Gracias a esta última relación se puede reescribir como:

$\!Z'(x)+ (1-\alpha)\!P(x)\!Z(x)=(1-\alpha)\!Q(x)$

Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:

$Z(x) = {\frac { \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right){e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}} {dx}+C}{{e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}}}}$

Donde

C \in \mathbb{R}

es una constante arbitraria. Pero como Z = y^1-α se tiene que:

${y^{(\alpha-1)}}={\frac {{e^{\left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}}}{ \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right){e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}} {dx}+C}} \qquad \Rightarrow y(x)={\sqrt [\alpha-1]{\frac {{e^{-(\alpha-1)\int \!P \left( x \right) {dx}}}}{ \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right){e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}} {dx}+C}}}$

Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:

$y(x)={\frac {{e^{-\int \!P \left( x \right) {dx}}}}{\sqrt [\alpha-1]{ \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right) {e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}}{dx}+C}}}$

Con

C \in \mathbb{R}

. Donde el factor integrante se define en, por ejemplo, 0 < x < ∞

Caso particular: α = 0

En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:

$\!y(x) = e^{-\int \!P(x)dx}\left({\int{ \!Q(x)e^{\int \!P(x)dx}dx}+\!C}\right)$

Caso particular: α = 1

Tenemos una ecuación diferencial lineal (Ecuación de variables separables). En este caso la solución viene dada por:

$\ln\ \!y(x) = \int [Q(x)-P(x)]dx + C$

Ejemplo:

Para resolver la ecuación:

$\qquad xy'+y=x^4y^3$

Se hace el cambio de variable

z=y^{-2}\;

$y^2=\frac{1}{z} \Rightarrow 2yy'=-\frac{1}{z^2}z'$

Multiplicando la ecuación anterior por el factor:

\frac{2y}{x};

se llega a:

$\qquad 2yy'+\frac{2}{x}y^2=2x^3y^4$

Si se sustituye en la última expresión y operando:

$-\frac{z'}{z^2} +\frac{2}{x} \frac{1}{z}= \frac{2x^3}{z^2} \quad \Rightarrow \quad z'-\frac{2z}{x}=-2x^3$

Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli: