Ecuaciones Diferenciales: 2015

jueves, 3 de diciembre de 2015

Ecuaciones Diferenciales Lineales (3 constantes)

Es aquella ecuación que se representa mediante el decremento de la derivada igualando la ecuación a 0.

Algoritmo:
Para resolver una ecuación lineal homogenea se convierte a una ecuación polinomial encontrando las raices de dicha ecuacion cuando la solución tiene raíces reales, estas deben ser linealmente dependientes.

Ejemplo:

Dependencia Lineal

Dos o más funciones son dependientes cuando alguna de ellas puede representarse en función de otra.

La dependencia lineal de 2 o mas funciones se calcula mediante el wroskiano de las funciones que se encuentran mediante la determinante de las funciones

Algoritmo:1.- Se separa la operación
2.- Se deriva cada parte
3.-Debe quedar horizontal y verticalmente con el mismo numero de operaciones
4.- se multiplican de manera diagonal
5.-se realizan las operaciones

Ejemplo:

Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas

Una ecuación diferencial ordinaria lineal y homogénea es una ecuación diferencial linea l que puede ser expresada como un conjunto de sumandos cada uno de los cuales es lineal en la incógnita o una de sus derivadas. El caso más sencillo se da para una función escalar de una única variable, si una ecuación diferencial para dicha función es homogénea entonces admitirá una representación de la forma:

$a_n(x)\frac{d^ny(x)}{dx^n} + \dots +a_2(x)\frac{d^2y(x)}{dx^2} + a_1(x)\frac{dy(x)}{dx} + a_0(x)y(x) = 0$

Algoritmo:

Cuando las raíces son reales.

Se sustituyen los valores de las raíces de manera directa en el exponente de la función, matematicamente se expresa de la siguiente manera.

Y=C1e^m1x+C2e^m2x

Cuando las raíces son iguales (m1=m2)

En este caso se repite la raíz en cada potencia y se incrementa una variable independiente en cada término.

Y=C1e^m1x+c2xe^m2x

Cuando las raíces son imaginarias

En un valor imaginario la parte real se representa por la letra α y la parte imaginaria por ß.

Mi=α+iß m2=x-iß

Y=Cie(α+iß)x+C2e(x-iß)x.

Ejemplo:

Ecuaciones de Bernoulli

es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial lineal de primer orden, mediante la sustitución y1-α = v,1 que se caracteriza por adoptar la forma:

{dy}+P(x)y=Q(x)y^ª{dx}

Algoritmo:

Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por y^α se obtiene:

$\frac{y'}{y^\alpha}+\frac{P(x)}{y^{(\alpha-1)}}=Q(x)$

Definiendo:

$Z(x):=\frac{1}{y^{(\alpha-1)}}$

o,equivalentemente, Z = y^1-α

lleva inmediatamente a las igualdades:

$Z'(x)= -\frac{\alpha-1}{y^\alpha}y' \qquad \Rightarrow \frac{y'(x)}{y^\alpha}=-\frac{1}{\alpha-1}Z'(x)$

Gracias a esta última relación se puede reescribir como:

$\!Z'(x)+ (1-\alpha)\!P(x)\!Z(x)=(1-\alpha)\!Q(x)$

Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:

$Z(x) = {\frac { \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right){e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}} {dx}+C}{{e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}}}}$

Donde

C \in \mathbb{R}

es una constante arbitraria. Pero como Z = y^1-α se tiene que:

${y^{(\alpha-1)}}={\frac {{e^{\left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}}}{ \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right){e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}} {dx}+C}} \qquad \Rightarrow y(x)={\sqrt [\alpha-1]{\frac {{e^{-(\alpha-1)\int \!P \left( x \right) {dx}}}}{ \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right){e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}} {dx}+C}}}$

Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:

$y(x)={\frac {{e^{-\int \!P \left( x \right) {dx}}}}{\sqrt [\alpha-1]{ \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right) {e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}}{dx}+C}}}$

Con

C \in \mathbb{R}

. Donde el factor integrante se define en, por ejemplo, 0 < x < ∞

Caso particular: α = 0

En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:

$\!y(x) = e^{-\int \!P(x)dx}\left({\int{ \!Q(x)e^{\int \!P(x)dx}dx}+\!C}\right)$

Caso particular: α = 1

Tenemos una ecuación diferencial lineal (Ecuación de variables separables). En este caso la solución viene dada por:

$\ln\ \!y(x) = \int [Q(x)-P(x)]dx + C$

Ejemplo:

Para resolver la ecuación:

$\qquad xy'+y=x^4y^3$

Se hace el cambio de variable

z=y^{-2}\;

$y^2=\frac{1}{z} \Rightarrow 2yy'=-\frac{1}{z^2}z'$

Multiplicando la ecuación anterior por el factor:

\frac{2y}{x};

se llega a:

$\qquad 2yy'+\frac{2}{x}y^2=2x^3y^4$

Si se sustituye en la última expresión y operando:

$-\frac{z'}{z^2} +\frac{2}{x} \frac{1}{z}= \frac{2x^3}{z^2} \quad \Rightarrow \quad z'-\frac{2z}{x}=-2x^3$

Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli:

$e^{\int P(x)dx} = e^{\int -\frac{2}{x}dx} = e^{-2ln(x)} = \frac{1}{x^2}$

Y se resuelve ahora la ecuación:

$\left(\frac{z}{x^2}\right)' = -2x^3 \frac{1}{x^2} = -2x \qquad \frac{z}{x^2} = \int{-2x dx} = -2\int{x dx} = -2\frac{x^2}{2} + C_1= -x^2 + C_1$

Deshaciendo ahora el cambio de variable:

$\frac{z}{x^2} = -x^2 + C_1 \quad \Rightarrow \quad z=C_1x^2 -x^4$

Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue

z=y^{-2}\;

$\frac{1}{y(x)^2}=C_1x^2-x^4 \quad \Rightarrow \quad y(x) = \frac{\pm 1}{\sqrt{C_1x^2-x^4}}$

Ecuaciones diferenciales lineales (aplicación)

la forma de conectar los elementos de un circuito implica la existencia de mapeos lineales que se relacionan de forma muy natural a los espacios vectoriales asociados. Los espacios vectoriales (cadenas) representan las corrientes y los espacios vectoriales duales (cocadenas) representan voltajes. Así mismo la suma directa de un espacio vectorial con su dual tiene una estructura simple eléctrica natural, donde las condiciones de reciprocidad tienen mucha importancia.

Algoritmo

1.- para el modelado del circuito eléctrico, repasaremos las leyes de Kirchoff , del tipo LR

2.-Para la solución de la ecuación diferencial aplicaremos la regla de los 4 pasos de la solución de las ecuaciones diferenciales lineales

3.-Utilizaremos matemática para la graficacion de resultados

Ejemplo:
Se aplica una fuerza electromotriz de 30V a un circuito en serie LR con 0.1 henrys de inductancia y 50 ohms de resistencia. Determine la corriente i(t), si i(0)=0. Determine la corriente conforme t→0.

Ldi+iR=E(t) dt

0.1di+50i=30 dt

dy+P(x)y=g(x)⇒di+500i=300dx dt

e∫P(x)dx==e∫500dt

e500t

y=yc+yp⇒i(t)=itr(t)+ips(t)

yc=Ce∫P(x)d

⇒itr(t)=Ce−∫500dt
⇒itr(t)=Ce−500t

yp=1e∫P(x)dx∫⇒ips(t)=1 ∫e500t∗300d e∫P(x)dxf(t)dx e500t

ips(t)=300∫e500tdt e500t

ps(t)=3/5

0=C+3/5

(t)=–3/5e−500t+3/5

grafica

viernes, 16 de octubre de 2015

Ecuaciones Diferenciales Lineales

Son las que se encuentran de la siguiente forma

Algoritmo:

1. Se Identifica el factor integrante

2. Se multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante.

3. Se Sustituye en el primer miembro la derivada

d/dx Y*m

4. Se Integra la ecuación y se despeja la variable independiente.

Ejemplo:

Esta ecuación tendrá una solución en el intervalo 0 ≤ x ≤ 1 (para g(x) = 1) y otra en el resto (x > 1). Podemos poner entonces:

y' + 2y = 1

Y tenemos una ecuación diferencial lineal no exacta de la que podemos calcular un factor integrante por:

Lo que nos da una solución general de la forma:

Y para el caso particular y(0) = 0

Podemos ver que esta última ecuación toma para x = 1 el valor:

Con lo que la siguiente parte se ha de resolver como:

y' = 2y = 0

Con la condición dada por la ecuación anterior.

Tenemos entonces:

Pero teniendo en cuenta el valor de y(1):

Obtenemos como solución para el intervalo x > 1:

Ecuación Diferencial Lineal

Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa que es de gran ayuda a la hora de encontrar dichas soluciones.

Algoritmo:

*Se identifica

*Se resuelve la ecuación.

*Al obtener la solución general despejamos C.

* sutituimosCen la solución general.

*Se hace el proceso de -3 al 3 con valores de X.

Ejemplo

Tenemos $b=x$ . Proponemos $y_p(x)= Ax+B$ (polinomio de primer orden). Las constantes $A$ y $B$ quedan determinadas tras aplicar los requerimientos de la ecuación a la solución particular (derivar n veces, multiplicar por $a_n$ coeficientes constantes, etc.).

Vemos que esta ecuación es de la forma:

Pero no es diferencial exacta. Calculamos el factor integrante aplicando la fórmula dada:

Y la solución general vendrá dada por:

Si queremos buscar el caso y(1) = 2, hacemos:

2 = 1 + C ; C = 1

Con lo que la solución de la ecuación será:

La representación gráfica de la solución da un haz de curvas como el adjunto.

Ecuaciones Diferenciales Lineales

Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la forma:

$a_n(x) D^n y(x) + a_{n-1}(x)D^{n-1} y(x) + \cdots + a_1(x) D y(x) + a_0(x) y(x) =f(x)$

Para que una ecuación diferencial sea lineal debe darse que no aparezcan productos de la función incógnita consigo misma ni con ninguna de sus derivadas.

Algoritmo:

1. Identificar el factor integrante M=e^{P(x)dx

2. Multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante.

3. Sustituir en el primer miembro la derivada del producto de la función y el factor integral

d/dx Y*m

4. Integrar la ecuación y despejar la variable independiente.

Ejemplo:

y+y-e^3x=0

y´+y=e^3x

p(x)=1

M=e^S1dx =e^x

M=e^x

e^xy+e^x y =e^3x*e^x

d/dx y* e^x =ye^x + e^xy´

Sd/dx y*e^x = 1/4 Se^4x dx

y*e^x=1/4e^4x+c

y=1/4e^4x+c/e^x

Ecuaciones Diferenciales Exactas

Es exacta si corresponde a alguna función definida en R (del plano x,y)

Algoritmo:

1. Comprobar que es una ecuación diferencial exacta.

2. Integrar a la función M(x,y)dx con respecto a X y sustituir a la constante C, por la función h(y).

3. Se deriva a la función encontrada con respecto a Y y se iguala con la función N(x,y).

4. Se integra a la función con respecto a la variable y se despeja h(y)

5. Se encuentra la solución general con la ecuación del paso 2 sustituyendo el valor h(y) e igualando con una constante de integración.

Ejemplo:

2+ydx + ^2+1)dy=0

∂M/∂y2x ∂N/∂x=2x

M=2xy N=x^2+1

S2xydx

2x^2y/2 +c

f(x,y) = x^2y + h (y)

∂f/∂y = x^2 + h(y) =x^2+1

Sh(y)= S1dy

h(y)=y

x^2y+y=c

Ecuación diferencial exacta

una ecuación exacta presenta la forma:

$M(x, y)\, dx + N(x, y)\, dy = 0, \,\!$

Algoritmo:

Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:

Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.

Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x ó N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:

$F(x,y) = \int M\,dx + g(y) = \int N\,dy + g(x) \,\!$

Para despejar la función g se deriva $F(x,y)\,\!$ con respecto a la variable independiente de g.

Se iguala g' con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable independiente de g; de este modo se encontrará la función g.

Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general $F(x,y)\,\!$

Ejemplo:

(x^2-y^2) + ^2 - 2xy)y´=0

M(x^2-y^2) N(x-2xy)

Ecuaciones Diferenciales

jueves, 3 de diciembre de 2015

Caso particular: α = 0

Caso particular: α = 1

viernes, 16 de octubre de 2015

Ecuaciones Diferenciales Lineales

∂M/∂y2x ∂N/∂x=2x

∂f/∂y = x^2 + h(y) =x^2+1

Ecuación diferencial exacta

∂M/∂y = 2y ∂N/∂x=2y

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