Ecuaciones Diferenciales Lineales 

Son las que se encuentran de la siguiente  forma  

Algoritmo:

1. Se Identifica el factor integrante 

2. Se multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante. 

3. Se Sustituye  en el primer miembro la derivada 

d/dx Y*m

4. Se Integra la ecuación y se despeja la variable independiente. 

Ejemplo: 

Esta ecuación tendrá una solución en el intervalo 0 ≤ x ≤ 1 (para g(x) = 1) y otra en el resto (x > 1). Podemos poner entonces:

y' + 2y = 1

Y tenemos una ecuación diferencial lineal no exacta de la que podemos calcular un factor integrante por:



Lo que nos da una solución general de la forma:



Y para el caso particular y(0) = 0



Podemos ver que esta última ecuación toma para x = 1 el valor:



Con lo que la siguiente parte se ha de resolver como:

y' = 2y = 0

Con la condición dada por la ecuación anterior.

Tenemos entonces:



Pero teniendo en cuenta el valor de y(1):



Obtenemos como solución para el intervalo x > 1:

Ecuación Diferencial Lineal 

Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa que es de gran ayuda a la hora de encontrar dichas soluciones.

Algoritmo: 

*Se  identifica 

*Se resuelve la ecuación.

*Al obtener la solución general despejamos C.

* sutituimosCen la solución general.

*Se hace el proceso  de -3 al 3 con valores de X.

Ejemplo

Tenemos . Proponemos  (polinomio de primer orden). Las constantes  y  quedan determinadas tras aplicar los requerimientos de la ecuación a la solución particular (derivar n veces, multiplicar por  coeficientes constantes, etc.).

Vemos que esta ecuación es de la forma:



Pero no es diferencial exacta. Calculamos el factor integrante aplicando la fórmula dada:



Y la solución general vendrá dada por:



Si queremos buscar el caso y(1) = 2, hacemos:

2 = 1 + C ; C = 1

Con lo que la solución de la ecuación será:



La representación gráfica de la solución da un haz de curvas como el adjunto.

Ecuaciones Diferenciales Lineales 

Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la forma:

Para que una ecuación diferencial sea lineal debe darse que no aparezcan productos de la función incógnita consigo misma ni con ninguna de sus derivadas.

Algoritmo: 

1. Identificar el factor integrante M=e^{P(x)dx

2. Multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante. 

3. Sustituir en el primer miembro la derivada del producto de la función y el factor integral

d/dx Y*m

4. Integrar la ecuación y despejar la variable independiente.  


Ejemplo:

y+y-e^3x=0

y´+y=e^3x

p(x)=1

M=e^S1dx =e^x

M=e^x

e^xy+e^x y =e^3x*e^x

d/dx y* e^x =ye^x + e^xy´

Sd/dx y*e^x = 1/4 Se^4x dx 

y*e^x=1/4e^4x+c

y=1/4e^4x+c/e^x

Ecuaciones Diferenciales Exactas 

Es exacta si corresponde a alguna función definida en R (del plano x,y) 

Algoritmo:

1. Comprobar que es una ecuación diferencial exacta. 

2. Integrar a la función M(x,y)dx con respecto a X y sustituir a la constante C, por la función h(y). 

3. Se deriva a la función encontrada con respecto a Y y se iguala con la función N(x,y). 

4. Se integra a la función con respecto a la variable y se despeja h(y)

5. Se encuentra la solución general con la ecuación del paso 2 sustituyendo el valor h(y) e igualando con una constante de integración. 

Ejemplo: 

2+ydx + ^2+1)dy=0

∂M/∂y2x      ∂N/∂x=2x

M=2xy  N=x^2+1

S2xydx   

2x^2y/2 +c 

f(x,y) = x^2y + h (y)

∂f/∂y = x^2 + h(y) =x^2+1

Sh(y)= S1dy

h(y)=y 

x^2y+y=c

Ecuación diferencial exacta 

 una ecuación exacta presenta la forma:

Algoritmo:

Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:

• Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.

• Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x ó N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:

• Para despejar la función g se deriva  con respecto a la variable independiente de g.

• Se iguala g' con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable independiente de g; de este modo se encontrará la función g.

• Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general 

Ejemplo:

 (x^2-y^2) + ^2 - 2xy)y´=0

M(x^2-y^2)  N(x-2xy)

∂M/∂y = 2y     ∂N/∂x=2y

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

Para resolver una Ecuación Diferencial Homogénea se realiza un cambio de variables, para esto se  utiliza la variable U. 

u=y/x

y=ux

dy=udx+xdu

Algoritmo:

1.- Se sustituye (y, dy) 

2.-Se separan las variables 

3.-Se resuelve la integral  para encontrar la solución general.

4.-Se calcula el valor de la constante para  las soluciones particulares.

Ejemplo:

f(xy)= -(x-y)/x 

dy/dx = -(x-y)/x

xdy= -(c,y)dx

xdy +x-y)dx=0

x(u*dx+xdu) + -ux)dx=0

uxdx + x^2du + xdx-uxdx=0

x^2 du + xdx=0

xdx=x^2du

xdx/x^2 =-du

S dx/x = Sdu

e ln x =-u+c

x=e^-u+c

x=eû * e^c

x=e^-4

x=C^e

x=ce^y/x

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

Si una ecuación diferencial para dicha función es homogénea entonces admitirá una representación de la forma:

(*)

Frecuentemente la resolución de una ecuación diferencial ordinaria puede ser planteada resolviendo primeramente la "versión homogénea" de dicha ecuación diferencial, consistente en una ecuación en que se han eliminado los sumados necesarios hasta obtener una ecuación homogénea.

Algoritmo:

1) Comprobar que la EDO es homogénea 

2) Proponemos :  z(x)= y/x
por lo que tenemos:  y=xz
  y´=z+xz´
  dy=zd+xdx

3)Sustituimos en la EDO (Nos quedará una EDO Separable) 

4) Resolvemos para Z(x)

5) Restituimos para Y(x)

Ejemplo:

Resolver:y´= xy+y^2/x^2

Solución: Siguiendo el algoritmo de solución:

P.1) EDO homogénea de grado 0

P.2) Proponemos:

                          z(x)= y/x 

                              por lo que tenemos :
                                                 y=xz

                                                                             y´=z+xz´

                                                                             dy=zdx´xdz

Carbono 14

Carbono 14 

El carbono 14 es un isótopo del carbono que se forma en las partes altas de la atmósfera, a partir del nitrógeno. Por tanto, el carbono 14, está presente en la atmósfera.

Las plantas, cuando hacen la fotosíntesis, fijan en su interior carbono, y en él se incluye el isótopo llamado carbono 14.

A lo largo de toda su vida, las plantas fijan carbono 14, y lo hacen hasta el momento en que mueren. A partir de su muerte, comienza el proceso de fosilización y, en él, empieza el proceso inverso: elcarbono 14 empieza a transformarse de nuevo en nitrógeno.

Midiendo la cantidad de carbono 14 y de nitrógeno que hay en el fósil, se puede conocer la edad aproximada de ese fósil.

Algoritmo: 

1.- Se debe conocer la formula general 

2.-Formula:  Q=Ce ^k(t)

3.- Se deben ubicar los valores que nos da el problema 

4.- Tanto constantes como variables 

5.-Se sustituye dentro de la formula 

6.-Se obtiene el resultado, en este caso el tiempo 

Ejemplo: 

Un fósil cuenta con 8,00 milésimas de C14, de manera proporcional, indique su antigüedad:

Qt= Qe ^ln 0.5/5600

0.800 Qo=Qo e ^ln 0.5/5600

ln [0.800=e^ln 0.5/5600] t 

ln 0.8= [ln 0.5/5600]t

t=ln 0.8/ln 0.5/5600

t=1802.7973 años