Ecuaciones Diferenciales Exactas 

Es exacta si corresponde a alguna función definida en R (del plano x,y) 

Algoritmo:

1. Comprobar que es una ecuación diferencial exacta. 

2. Integrar a la función M(x,y)dx con respecto a X y sustituir a la constante C, por la función h(y). 

3. Se deriva a la función encontrada con respecto a Y y se iguala con la función N(x,y). 

4. Se integra a la función con respecto a la variable y se despeja h(y)

5. Se encuentra la solución general con la ecuación del paso 2 sustituyendo el valor h(y) e igualando con una constante de integración. 

Ejemplo: 

2+ydx + ^2+1)dy=0

∂M/∂y2x      ∂N/∂x=2x

M=2xy  N=x^2+1

S2xydx   

2x^2y/2 +c 

f(x,y) = x^2y + h (y)

∂f/∂y = x^2 + h(y) =x^2+1

Sh(y)= S1dy

h(y)=y 

x^2y+y=c

Ecuación diferencial exacta 

 una ecuación exacta presenta la forma:

Algoritmo:

Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:

• Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.

• Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x ó N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:

• Para despejar la función g se deriva  con respecto a la variable independiente de g.

• Se iguala g' con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable independiente de g; de este modo se encontrará la función g.

• Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general 

Ejemplo:

 (x^2-y^2) + ^2 - 2xy)y´=0

M(x^2-y^2)  N(x-2xy)

∂M/∂y = 2y     ∂N/∂x=2y

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

Para resolver una Ecuación Diferencial Homogénea se realiza un cambio de variables, para esto se  utiliza la variable U. 

u=y/x

y=ux

dy=udx+xdu

Algoritmo:

1.- Se sustituye (y, dy) 

2.-Se separan las variables 

3.-Se resuelve la integral  para encontrar la solución general.

4.-Se calcula el valor de la constante para  las soluciones particulares.

Ejemplo:

f(xy)= -(x-y)/x 

dy/dx = -(x-y)/x

xdy= -(c,y)dx

xdy +x-y)dx=0

x(u*dx+xdu) + -ux)dx=0

uxdx + x^2du + xdx-uxdx=0

x^2 du + xdx=0

xdx=x^2du

xdx/x^2 =-du

S dx/x = Sdu

e ln x =-u+c

x=e^-u+c

x=eû * e^c

x=e^-4

x=C^e

x=ce^y/x

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

Si una ecuación diferencial para dicha función es homogénea entonces admitirá una representación de la forma:

(*)

Frecuentemente la resolución de una ecuación diferencial ordinaria puede ser planteada resolviendo primeramente la "versión homogénea" de dicha ecuación diferencial, consistente en una ecuación en que se han eliminado los sumados necesarios hasta obtener una ecuación homogénea.

Algoritmo:

1) Comprobar que la EDO es homogénea 

2) Proponemos :  z(x)= y/x
por lo que tenemos:  y=xz
  y´=z+xz´
  dy=zd+xdx

3)Sustituimos en la EDO (Nos quedará una EDO Separable) 

4) Resolvemos para Z(x)

5) Restituimos para Y(x)

Ejemplo:

Resolver:y´= xy+y^2/x^2

Solución: Siguiendo el algoritmo de solución:

P.1) EDO homogénea de grado 0

P.2) Proponemos:

                          z(x)= y/x 

                              por lo que tenemos :
                                                 y=xz

                                                                             y´=z+xz´

                                                                             dy=zdx´xdz

Carbono 14

Carbono 14 

El carbono 14 es un isótopo del carbono que se forma en las partes altas de la atmósfera, a partir del nitrógeno. Por tanto, el carbono 14, está presente en la atmósfera.

Las plantas, cuando hacen la fotosíntesis, fijan en su interior carbono, y en él se incluye el isótopo llamado carbono 14.

A lo largo de toda su vida, las plantas fijan carbono 14, y lo hacen hasta el momento en que mueren. A partir de su muerte, comienza el proceso de fosilización y, en él, empieza el proceso inverso: elcarbono 14 empieza a transformarse de nuevo en nitrógeno.

Midiendo la cantidad de carbono 14 y de nitrógeno que hay en el fósil, se puede conocer la edad aproximada de ese fósil.

Algoritmo: 

1.- Se debe conocer la formula general 

2.-Formula:  Q=Ce ^k(t)

3.- Se deben ubicar los valores que nos da el problema 

4.- Tanto constantes como variables 

5.-Se sustituye dentro de la formula 

6.-Se obtiene el resultado, en este caso el tiempo 

Ejemplo: 

Un fósil cuenta con 8,00 milésimas de C14, de manera proporcional, indique su antigüedad:

Qt= Qe ^ln 0.5/5600

0.800 Qo=Qo e ^ln 0.5/5600

ln [0.800=e^ln 0.5/5600] t 

ln 0.8= [ln 0.5/5600]t

t=ln 0.8/ln 0.5/5600

t=1802.7973 años